Es ist ein allgemeines Prinzip, algebraische Begriffe und Invarianten mit metrischer Information zu modifizieren oder zu verfeinern. Zum Beispiel liefert eine Abschwächung der Homomorphismuseigenschaft sogenannte Quasimorphismen von Gruppen und eine Mischung von homologischer Algebra mit funktionalanalytischen Konzepten führt zur sogenannten beschränkten Kohomologie. Dabei stellt sich heraus, dass solche Konzepte oft verblüffende Anwendungen in der theoretischen Mathematik besitzen.
In diesem Seminar werden wir uns mit einigen Beispielen dieses Prinzips beschäftigen, wobei der Schwerpunkt auf beschränkter Kohomologie und ihren Anwendungen in der Gruppentheorie, Geometrie und Topologie liegen wird. On request, this course can be held in English
Die algebraische Topologie studiert topologische Räume mithilfe algebraischer Invarianten. Dabei werden bestimmte Aspekte topologischer Räume in der Algebra, z.B. durch Gruppen und Gruppenhomomorphismen, modelliert. Klassische Beispiele sind die sogenannten Homotopiegruppen bzw. (Ko)Homologietheorien. Die algebraische Topologie hat eine Vielzahl von Anwendungen, sowohl in der theoretischen als auch in der angewandten Mathematik, z.B. durch Fixpunktsätze oder (Nicht)Einbettbarkeitsresultate. So beruht etwa Nashs Beweis für die Existenz gewisser Gleichgewichte in der Spieltheorie auf einem topologischen Argument. Inhalt der Vorlesung sind:
Begleitend zur Vorlesung wird es voraussichtlich ein Kurzskript zu den jeweils behandelten Themen geben. Diese Vorlesung baut auf der Algebraische Topologie II aus dem WS 2013/14 auf. Diese Vorlesungen benötigen keine Vorkenntnisse aus der Algebraischen Topologie I (bzw. die nötigen Vorkenntnisse werden dann entsprechend kurz wiederholt).On request, this course can be held in English