Die Theorie der algerbraischen Gruppen spielt eine fundamentale Rolle in vielen Teilgebieten der Mathematik, zum Beispiel in der algebraischen Zahlentheorie (Modulformen, automorphe Formen). In der algebraischen Geometrie sind sie nützlich im Studium von Aktionen und für das Formen von Quotientenräumen, sie werden zum Beispiel zur Konstruktion verschiedener Modulräume verwendet.
Ziel dieses Kurses ist es, eine Einführung in die Theorie der algebraischen Gruppen zu geben. Dazu verwenden wir den modernen Zugang durch den sogenannten "Functor of points." Einzige Voraussetzung für den Besuch der Vorlesung ist somit kommutative Algebra.
Ein wichtiges Resultat, das besprochen wird, ist der Satz von Chevalley, der besagt dass eine algebraische Gruppe als Erweiterung von einer abelschen Varietät durch eine affine algebraische Gruppe beschrieben werden kann. Ein weiteres Ziel ist die Klassifikation von reduktiven algebraischen Gruppen mit Hilfe von Wurzelsystemen und Dynkin-Diagrammen.
The theory of algebraic groups plays a fundamental role in many areas of mathematics, such as algberaic number theory (module forms, automorphic forms...). In algebraic geometry they provide useful tools to study group actions and to form quotient spaces; for example they are used for the construction of various moduli spaces.
The goal of this course is to give an introduction in the theory of algebraic groups. We will use the modern approach of the functor of points. The only prerequisite is therefore commutative algebra. Some basic knowledge about algebraic geometry will also be helpful but not necessary.
An important result that we will discuss is the theorem of Chevalley, which states that an algebraic group can be see as an extension of an abelian variety by an affine algebraic group. Another topic is the classification of reductive algebraic groups by root systems and Dynkin diagrams.