Wintersemester 2014/15

Die geometrische Gruppentheorie befasst sich mit folgenden Fragestellungen:

• Kann man Gruppen als geometrische Objekte ansehen und wie hängen geometrische mit algebraischen Eigenschaften von Gruppen zusammen?
  
  
• Allgemeiner: Auf welchen geometrischen Objekten können gegebene Gruppen sinnvoll operieren und wie hängen die Eigenschaften der entsprechenden geometrischen Objekte mit algebraischen Eigenschaften der Gruppen zusammen?

Zum Beispiel gibt es einen engen Zusammenhang zwischen freien Gruppen und Operationen auf Bäumen; dies liefert einen eleganten Beweis der Tatsache, dass Untergruppen von freien Gruppen frei sind.

In dieser Vorlesung werden wir untersuchen, wie das Übersetzen geometrischer Begriffe wie Geodäten, Krümmung, Volumina etc. in die Welt der Gruppentheorie eine interessante Symbiose zwischen Geometrie und Algebra liefert.

Der genaue Inhalt der Vorlesung wird auf die Vorkenntnisse der Teilnehmer abgestimmt.

Bei Bedarf wird versucht, im SS 2015 eine Fortsetzung anzubieten; diese Veranstaltung ist aber auch gut mit anderen Vorlesungen aus der Globalen Analysis kombinierbar.

Ein grundlegendes mathematisches Problem ist, welche Fragen algorithmisch beantwortet werden können bzw. welche Objekte überhaupt algorithmisch klassifiziert werden können.

Ausgehend von Turings Entdeckung, dass das sogenannte Halteproblem nicht algorithmisch gelöst werden kann, kann man zeigen, dass selbst die einfachsten gruppentheoretischen Probleme nicht algorithmisch gelöst werden können. Ein solches Problem ist das Wortproblem: Gegeben sei eine Beschreibung einer Gruppe durch (endlich viele) Erzeuger und Relationen. Gibt es einen Algorithmus, der für Wörter in den Erzeugern entscheidet, ob das entsprechende Gruppenelement trivial ist oder nicht?

Diese algorithmische Unzugänglichkeit der Gruppentheorie hat weitreichende Konsequenzen für viele mathematische Teilgebiete. Zum Beispiel folgt daraus, dass das Homöomorphieproblem für Mannigfaltigkeiten nicht algorithmisch lösbar ist. Insbesondere können Mannigfaltigkeiten nicht algorithmisch klassifiziert werden.

In diesem Seminar werden wir die Grundlagen der (Un)Entscheidbarkeit kennenlernen und auf gruppentheoretische Probleme anwenden. Insbesondere werden wir sehen, dass es Gruppen mit algorithmisch unentscheidbarem Wortproblem gibt und die Konsequenzen für topologische Klassifikationsprobleme betrachten.