Die algebraische Topologie studiert topologische Räume mithilfe algebraischer Invarianten. Dabei werden bestimmte Aspekte topologischer Räume in der Algebra, z.B. durch Gruppen und Gruppenhomomorphismen, modelliert. Klassische Beispiele sind die sogenannten Homotopiegruppen bzw. (Ko)Homologietheorien.
Die algebraische Topologie hat eine Vielzahl von Anwendungen, sowohl in der theoretischen als auch in der angewandten Mathematik, z.B. durch Fixpunktsätze oder (Nicht)Einbettbarkeitsresultate. So beruht etwa Nashs Beweis für die Existenz gewisser Gleichgewichte in der Spieltheorie auf einem topologischen Argument.
Inhalt der Vorlesung sind:
- Was ist algebraische Topologie?
- Die Eilenberg-Steenrod-Axiome
- Singuläre (Ko)Homologie
- Zulluläre (Ko)Homologie
- Klassische Anwendungen von (Ko)Homologie
Begleitend zur Vorlesung wird es voraussichtlich ein Kurzskript zu den jeweils behandelten Themen geben.
Die Vorlesung wird im Sommersemester 2014 durch die Vorlesung Algebraische Topologie III fortgesetzt, in der insbesondere (Ko)Homologie von Mannigfaltigkeiten behandelt wird. Diese Vorlesungen benötigen keine Vorkenntnisse aus der Algebraischen Topologie I (bzw. die nötigen Vorkenntnisse werden dann entsprechend kurz wiederholt).
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