Prof. Dr. Kings

This is a seminar for advanced Bachelor students and Master students,
providing an introduction to selected topics in modern number theory.

It is a general principle in mathematics that a problem defined over a
given field (or any other algebraic object) may become more accessible
by passing to a suitable extension field. For instance, the rational
numbers Q have the (analytical) drawback that they are not complete with
respect to the "ordinary" (also known as "archimedean") absolute value,
so one passes to the field of real numbers, which is the completion of Q
with respect to that absolute value. Moreover, any prime number p gives
rise to an absolute value on Q (these are called "non-archimedean"),
and the corresponding completion is called the field of p-adic numbers.
By a theorem of Ostrowski, there are essentially no further absolute
values on Q.
The real and p-adic numbers belong to the class of local fields, which
basically refers to the fact that they pay respect to one single
absolute value. However, in order to solve our initial problem, it may
be necessary to consider all these absolute values at once! So one could
try to patch those completions together cleverly, in the hope that the
resulting global object (i.e., involving all absolute values) has more
convenient properties than Q. Indeed, this process leads to the adele
ring A of Q, which is also a locally compact space (in contrast to Q),
so that we may perform integration and harmonic analysis on A.

In the first part of the seminar, we shall introduce the adele ring
as well as the idele group (which is the unit group of the adele ring,
but equipped with a finer topology) of a number field and study their
properties. Depending on the prerequisites of the participants, we may
also cover the basics about
number fields and local fields beforehand. Anyway, this discussion will
culminate in the first highlights of our seminar: proofs of the
finiteness of class number and of Dirichlet's unit theorem. Both are
statements about number fields that may be established by adelic means.

The second part of the seminar will be devoted
to one of the major applications of adeles/ideles, namely, either to
global class field theory (which aims to describe the Galois group of
the maximal abelian extension of a number field) or to Tate's thesis
(providing a conceptional method to derive meromorphic continuations of
certain zeta and L-functions). The choice of topic depends on the
interests and prerequisites of the participants.

Dieses Seminar, das sich an Lehramtsstudierende sowie an
Bachelorstudierende in frühen Semestern richtet, soll eine spielerische
Einführung in die algebraische Zahlentheorie geben.

Unser Leitmotiv wird die folgende Problemstellung sein: Gegeben sei
eine natürliche Zahl n. Welche Primzahlen p kann man dann in der Form
p=x²+ny² for ganze Zahlen x und y schreiben?
Im Falle n=1 gibt es eine sehr elegante Antwort: Es ist 2=1²+1², und
eine ungerade Primzahl p lässt sich genau dann als p=x²+y² für ganze
Zahlen x und y schreiben, wenn p bei Division durch 4 den Rest 1 lässt
(oder professioneller ausgedrückt: wenn p kongruent zu 1 modulo 4 ist).
Je größer man n wählt, desto komplizierter scheinen diese
Gesetzmäßigkeiten aber zu werden. -- Was steckt dahinter?

Motiviert durch jene Fragestellung (die übrigens auf den
französischen Mathematiker Pierre de Fermat zurückgeht) werden wir uns
im Seminar die Grundlagen der algebraischen Zahlentheorie erarbeiten.
Besonderen Wert möchte ich hierbei auf die folgenden beiden Lernziele
legen:

-- Obwohl in der obigen Problemstellung ausschließlich ganze Zahlen
auftreten, ist der Ring Z der ganzen Zahlen "nicht der richtige Ort", um
die Frage zu beantworten. Stattdessen müssen wir von Z zu einer
Ringerweiterung (d.h., zu einem größeren Ring) übergehen.
Für n=1 sollte man z.B. den Ring Z[i] der Gaußschen ganzen Zahlen,
bestehend aus allen komplexen Zahlen der Form a+bi für ganze Zahlen a
und b, betrachten. Warum gerade Z[i]? -- In diesem Ring faktorisiert
x²+y²=(x+iy)(x-iy).
Im Seminar werden wir anhand vieler Beispiele lernen, was bei der Wahl
dieser Ringerweiterungen zu beachten ist, und welche Gefahren sie mit
sich bringen (z.B. funktionieren Argumente, die von eindeutiger
Primfaktorzerlegung Gebrauch machen, dann i.A. nicht mehr).

-- Wir werden sehen, dass sich jeder solchen Ringerweiterung eine
endliche abelsche Gruppe zuordnen lässt (für Experten: die
Idealklassengruppe des zugehörigen Zahlkörpers), die man als Maß dafür
betrachten kann, wie schwierig es ist, in dieser Ringerweiterung
Zahlentheorie zu betreiben. Zum Beispiel: Ist die Gruppe trivial (d.h.,
bestehend aus einem einzigen Element), so verhält sich die
Ringerweiterung fast wie Z, hat also ausgezeichnete Eigenschaften. Im
Seminar werden wir (z.B. anhand der obigen Problemstellung) erkennen,
dass sich merkwürdige Verhaltensmuster unter den ganzen Zahlen oft auf
jene geheimnisvolle Gruppe zurückführen lassen. Unser Ziel wird es
schließlich sein zu lernen, wie man Eigenschaften dieser Gruppe nützen
kann, um Resultate über ganze Zahlen zu beweisen.

Je nach Anzahl und Vorkenntnissen der teilnehmenden Studierenden
könnten wir gegen Ende des Seminars außerdem besprechen, wie man durch
den Einsatz analytischer Methoden (speziell durch Zeta- und
L-Funktionen) zahlentheoretische Erkenntnisse erlangen kann.

Catchwords: Theta functions, theta constants, modular forms, automorphic forms, factors of automorphy, cohomology, line bundles, Appel-Humbert, abelian varieties, complex tori, projective embeddings, polarizations, moduli spaces, Igusa, Mumford

This is the continuation of "Cohomology of sheaves I" held in the winter term by Prof. Guido Kings.

Stichworte zum Seminar: Kettenbrüche, diophantische Approximation, diophantische Gleichungen, Geometrie der Zahlen

This is the first part of a two semester course on the cohomology of sheaves. Sheaves are a basic
tool in mathematics to describe local-global principles and occur everywhere in mathematics. Typical
examples are the continuous functions on a topological space or differentiable forms on a
differentiable manifold. Also vector bundles are the same as locally free sheaves of finite rank. To
work with sheaves it is important to have a good knowledge of the so called six functor formalism
$f_*$, $f^*$, $f_!$, $f^!$, $\otimes$, $Hom$, which works well in the derived category. In view of
this, the course will also contain an introduction to derived categories and hence to spectral
sequences. An important source of examples for sheaves are equivariant sheaves on locally symmetric
spaces, which gives connections to automorphic forms and number theory. The lecture will be
divided into two parts: Tuesdays we introduce the general theory and Thursdays we will treat
examples. There are no prerequisites besides a good knowledge of the courses Analysis and Algebra of
the first four semesters. We plan to treat: Categories, Functors, abelian categories, limits
and colimits, sheaves, R-module sheaves, the functors f_*, f^*, f_!, f^!, $\otimes$, $Hom$,
equivariant sheaves, categories of complexes, the basic notions of triangulated and derived
categories and the cohomology of sheaves. The lecture in the summer term will continue with
general Poincare-Verdier duality, homotopy invariance of sheaf cohomology, base change, purity,
relation to singular and de Rham cohomology, Thom and Chern classes. Besides this we will introduce
a purely topological construction of equivariant cohomology classes, which can be expressed by
Epstein zeta functions and lead to strong integrality statements for special values of
L-functions.

Im Fokus dieses Seminars stehen zwei scheinbar gegensätzliche Themen: Einerseits Modulformen - eine Klasse von Funktionen auf der oberen komplexen Halbebene, die einer Unzahl von Symmetrien genügen. Andererseits transzendente Zahlen - die Teilmenge jener komplexer Zahlen, die sich nicht als Lösungen algebraischer Gleichungen beschreiben lassen. Das Ziel des Seminars ist es zu verstehen, warum Modulformen eine reichhaltige Quelle für transzendente Zahlen darstellen können. Auf dem Weg zu dieser Erkenntnis werden uns u.a. das Theorem von Schneider-Lang und die Weierstraßsche p-Funktion (siehe Schaukasten neben H31 in der mathematischen Fakultät) begegnen.

Das Seminar stellt eine Fortsetzung der Vorlesung "Einführung in die transzendente Zahlentheorie" aus dem Sommersemester dar. Dennoch können Sie auch dann am Seminar teilnehmen, wenn Sie die Vorlesung nicht besucht haben. Ich möchte dieses Seminar auch explizit für interessierte Studierende des gymnasialen Lehramts bewerben.

Eine detailliertere Beschreibung finden Sie hier: https://sites.google.com/view/lukas-prader/teaching

In der Vorlesung wiederholen und vertiefen wir Aussagen und Methoden aus der Schulgeometrie.

Kursbeschreibung:

Die Frage nach der Quadratur des Kreises ist ein klassisches Problem der Mathematik. Die Problemstellung geht auf die Antike zurück und besteht darin mit Zirkel und Lineal zu einem gegebenen Kreis ein Quadrat mit demselben Flächeninhalt zu konstruieren. Erst im 19. Jahrhundert gelang es Lindemann durch den Beweis der Transzendenz von π dieses Problem abschließend zu beantworten.

Im Kurs werden wir zunächst die Grundlagen der diophantischen Approximation behandeln, nebenbei die Transzendenz wichtiger mathematischer Konstanten zeigen, und Anwendungen wie die Unmöglichkeit der Quadratur des Kreises diskutieren. Anschließend werden wir uns mit Werten der Riemannschen Zetafunktion an ganzen Zahlen beschäftigen. Hier werden wir mit relativ wenig technischem Aufwand auf Themen brandaktueller mathematischer Forschung stoßen.

Ich möchte diesen Kurs explizit auch für interessierte Studierende des gymnasialen Lehramts bewerben. Im Kurs werden wir Themen behandeln, die man gut als Hintergrundwissen in den Schulunterricht einfließen lasen kann, oder die sich als Grundlage eines W-Seminars eignen könnten.

In der Linearen Algebra II wird behandelt: die Klassifikation der Endomorphismen (Jordan
Normalform), Bilinearformen (Sylvesters Trägheitssatz), die Spektralsätze für
selbstadjungierte und normale Endomorphismen und die Iwasawa-Zerlegung. Schließlich werden
Moduln über Hauptidealringen klassifiziert.

Die Vorlesung Lineare Algebra I bildet zusammen mit der Vorlesung Analysis I die Grundlage für
das Studium der Mathematik (in den Studiengängen Bachelor Mathematik, Lehramt Mathematik
vertieft und Bachelor Physik). In der Vorlesung Lineare Algebra I werden die folgenden Themen
behandelt: Logische/mengentheoretische Grundlagen, grundlegende algebraische Strukturen,
Vektorräume, lineare Abbildungen, Matrizen, lineare Gleichungssysteme, Determinanten,
Eigenwerte, euklidische und unitäre Vektorräume.

Der Kurs dient der Vorbereitung auf die schriftliche Prüfung in Algebra im ersten Staatsexamen
(Lehramt Gymnasium). Anhand früherer Examensaufgaben sollen die erforderlichen Kenntnisse aus
der Algebra und Zahlentheorie wiederholt und wesentliche Techniken zum Lösen der Aufgaben
eingeübt werden. Das Seminar ist Bestandteil des Moduls LGyAlg.

Der Kurs dient der Vorbereitung auf die schriftliche Prüfung in Algebra im ersten Staatsexamen (Lehramt Gymnasium). Anhand früherer Examensaufgaben sollen die erforderlichen
Kenntnisse aus der Algebra und Zahlentheorie wiederholt und wesentliche Techniken zum Lösen der Aufgaben eingeübt werden. Das Seminar ist Bestandteil des Moduls LGyAlg.