Daniel Schaeppi

The low dimensional algebraic K-groups are built from vector bundles (over a scheme) or projective
modules (over an affine scheme) and their automorphisms. Rather than trying to understand vector
bundles directly, one forms a ring consisting of vector bundles up to a suitable equivalence
relation. There are also higher K-groups, but in this course we will restrict attention to the first
three K-groups (which were defined much earlier than the others). The goal is to prove the Bass
Fundamental Theorem which establishes a relationship between these K-groups on polynomial and
Laurent polynomial extensions.

This is an introduction to the theory of categories. It starts with an overview of the basic notions such as categories, functors, natural transformations, adjunctions, limits and colimits. We will then discuss some of the fundamental results (Yoneda lemma, free cocompletions) and in the end we will cover some applications of these categorical techniques in other fields of mathematics.

Kryptographie befasst sich mit Methoden, Nachrichten so zu verschlüsseln, dass diese nur dem
Adressaten zugänglich werden. Grundsätzlich gibt es hierbei zwei verschiedene Verfahren,
die symmetrische Verschlüsselung und die asymmetrische, auch Public-Key-Verfahren genannt.
Letzteres spielt zum Beispiel beim elektronischen Zahlungsverkehr eine wichtige Rolle. Ziel des
Seminars ist es, die arithmetischen Grundlagen aus der elementaren Zahlentheorie und der
algebraischen Geometrie entwickeln, um verschiedene Kryptosysteme begreifen zu können. Dazu
zählen insbesondere das RSA-Verfahren und das DL-Verfahren auf elliptischen Kurven.

Der Kurs dient der Vorbereitung auf die schriftliche Prüfung in Algebra
im ersten Staatsexamen (Lehramt Gymnasium). Anhand früherer
Examensaufgaben sollen die erforderlichen Kenntnisse aus der Algebra und
Zahlentheorie wiederholt und wesentliche Techniken zum Lösen der
Aufgaben eingeübt werden. Das Seminar ist Bestandteil des Moduls LGyAlg.

This is a continuation of the course "Monads and their applications". We will start with two-dimensional monad theory which, broadly speaking, is the study of categories equipped with algebraic structure. Specific examples are given by (enriched) categories with (symmetric or braided) monoidal structures and categories which admit certain limits or colimits. The morphisms of interest in these examples preserve the given structure only up to coherent isomorphism. For this reason, two-dimensional monad theory differs from the theory of monads enriched in categories discussed in the previous lecture. We will use the latter to study the former.

Additional applications of monads that we will discuss are algebraic weak factorization systems and comonadic descent.